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Le nombre d'or dans la peinture, l'architecture et la nature

φ Le nombre d'or dans la peinture

Comme nous l’avons vu précédemment le nombre d’or se retrouve dans de nombreux domaines. La peinture est l'un des domaines d'études les plus vastes du Nombre d'Or. En effet, le nombre d’or y est omniprésent. Des centaines d’artistes l'ont employé de manière volontaire ou non; parmi eux des artistes très connu tel que Leonard de Vinci, Botticelli, Géricault, etc... Le nombre d’or apportant un aspect esthétique à une œuvre d’art, explique sa présence dans de nombreuses œuvres involontairement. En peinture le nombre d’Or est considéré comme une philosophie que le peintre applique et non comme un procédé mathématiques.

Nous allons ici étudier deux œuvres de Leonard de Vinci, et la présence du nombre d’or dans celles-ci.

La Léda et le signe.

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     Cette toile a été peinte par léonard de Vinci en 1513 soit 10 ans après la Joconde. En observant cette œuvre, la présence du nombre d’or n’est pas évidente. La géométrie n’est pas apparente. Cependant lorsque l’on trace plusieurs droites passant par des points précis (nommés points stratégiques) on retrouve le nombre d’or. Les ponts stratégiques de l’œuvre ici son A, B, C et D. Nous pouvons remarquer que ceux ci forment un losange au centre de la toile. En effet l’intersection du milieu de (AC) et le milieu de (BD) est le centre de la toile. Ceci est visible sur l’image ci-dessus. On retrouve ici de nombreuses proportions. Comme ABCD est un losange, les 4 côtés sont donc égaux. Nous remarquons qu'à l’intérieur de ce losange il y a deux carrés équilatéraux. De ces triangles partent 2 plates-bandes obliques verticales. Elles aboutissent toutes au petit côté du rectangle extérieur.

Les chiffres autour du cadre de la peinture montrent les proportions, on peut ainsi noter les relations de proportions suivantes :

°11/°10 = °10/°9 = °9/°8 = °8/°7 = 1.618 = phi (lire division pour le symbole °)

Ces proportions renvoient au rapport entre l’extrême et la moyenne raison. Prenons ici °9 (a) et °10 (b) on a bien : ‪(a + b) / a = a / b. Ceci crée des proportions parfaites ainsi que une harmonie dans l’œuvre. L’être humain reconnaît les proportions dans une œuvre, c’est un réel critère de beauté. Comme le cadre de cette œuvre présente la divine proportion on peut qualifier celle ci de belle.

 

 

La naissance de Vénus.

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La naissance de Vénus est une œuvre peinte pas Sandro Botticelli (1482 environ). On y voit la déesse Temps recouvrir Vénus d'un manteau. Sur la gauche se trouvent les dieux du vent (dont Zéphyr), qui ont transporté la belle jusqu'au rivage.

Ses dimensions, 172,5 × 278,5 cm représentent un rectangle d’or. En effet ces dimensions respectent précisément la proportion. Comme nous l’avons vue précédemment un rectangle d’or est un rectangle dont le quotient de la longueur sur la largeur est égal au nombre d’or. Ici nous avons 278,5/172,5 = 1,61… et φ = 1,61… également.
Ces valeurs sont égales au centième près.
Nous pouvons donc dire que ce tableau est construit à partir d’un rectangle d’or.

Les Dieux des Vents : à gauche du tableau et le personnage de la Grâce, à droite représentent également des « rectangles d’or ». En effet les personnages à gauche et à droite s'inscrivent le long des diagonales de rectangles d'or dont la hauteur correspond à celle du tableau. Nous pouvons donc calculer la largeur de ces rectangles selon la règle du rectangle d’or, il faut () = φ, la largeur du tableau étant de 172,5cm, la largeur du rectangle est de : 172/̇φ = donc ̇ = 106,6cm environ ; donc les dimensions de ces rectangles d’or sont de 106,6 x 172,5 cm.
Il est possible également de tracer deux cercles dont le diamètre correspond au côté de ces rectangles d’or. Ces cercles ne sont pas par hasard dans cet œuvre. En effet nous remarquons que l’un d’eux renferme le Les dieux des vents et l’autre le personnage de la Grâce. Ces deux cercles se rencontrent et se coupent. Venus se trouve ainsi a l’intérieur des deux cercles. C’est le personnage central de cette œuvre. Nous pouvons ainsi dire que le Nombre d'Or apporte une clef à la composition et compréhension de ce tableau. Ainsi la proportion divine apporte une qualité intrinsèque (qui est propre à une chose essentielle). L’objet essentiel ici est Vénus. Or vénus est la déesse de la beauté. Le nombre d’or apporte ici l’harmonisation ainsi que la beauté de cette œuvre.

Ainsi le nombre d’or que se soit volontairement ou non est présent dans de très nombreuses œuvres picturales. Il donne à l’œuvre une dimension esthétique souvent du à la proportionnalité. Elle peut donner des clefs à la composition d’une œuvre d'art. Le nombre d’or permet donc de créer une certaine harmonisation dans l’œuvre.

φ Le nombre d'or dans l'architecture

Nombre d'or chez le Corbusier

Le Corbusier, pseudonyme de Charles-Édouard Jeanneret (1887-1965), est un architecte, peintre et théoricien français d'origine suisse, dont le travail eut une grande influence sur le développement de l'architecture moderne.

Le Corbusier est un architecte qui durant toute sa carrière a utilisé le nombre d’or.

Il a créé l’échelle le Modulor. Ce dernier est une échelle créée en 1943 et étalonnée par rapport à un homme de taille moyenne afin que l’homme se sente bien chez lui comme s’il était dans son environnement naturel où le nombre d’or est omniprésent.

L’Homme, "cet animal qui doit pouvoir s'ébrouer tout à son aise dans l'espace de sa maison". Il construit donc et représente sa grille sur la silhouette d’un homme debout, levant un bras. En bâtissant l'échelle humaine, le Corbusier rejoint notamment les architectes de la Grèce antique. Comme ceux ci il aménage l'espace architectural pour que le corps s'y reconnaisse. Sa réflexion sur le comportement de l'homme, sur l'équilibre des volumes, de leurs dimensions et proportions l'amène à établir une grille de mesures s'appuyant sur le "Nombre d'Or".

 

Schéma de la fonctionnalité à l'échelle humaine du Modulor Schéma de la fonctionnalité à l'échelle humaine du Modulor

"La nature est mathématique, les chefs-d'œuvre de l'art sont en consonance avec la nature. Ils expriment les lois de la nature et ils s'en servent".

 

Les proportions du modulor sont directement liées au nombre d’or. En effet, le rapport de deux unités est égal au nombre d’or. Cette échelle a été adoptée par tous les architectes et permettait de créer une œuvre aux proportions harmonieuses.

Le Modulor apparait comme le moyen de dépasser les deux systèmes de mesure qui divisent la planète. L'échelle du Modulor suit la progression de Fibonacci, suite qui tend vers le nombre d'or, puisque pour Le Corbusier, à la Renaissance, le corps humain obéit à la règle d'or.

 

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Par la suite, le Parthénon, en grec ancien Παρθενών, est un édifice situé sur l’acropole d’Athènes. Celui-ci était consacré à la déesse Athéna, protectrice de la cité et déesse de la guerre et de la sagesse. Périclès fit appel au sculpteur grec Phidias (dont le nom est à l'origine du nombre Φ) pour réaliser les plans du monument. La première pierre fut posée en 447 avant J.C. Il a été construit de -449 à -438 par l'architecte Ictinos.

14437337parthenon-facade-est-jpg.jpgparthenon02-1.jpg

 

 

 

 

 

 

 

La présence de la proportion divine au sein du Parthénon a bien souvent été remise en cause. En effet, plusieurs personnes ont travaillé sur ce monument pour essayer de faire apparaître la proportion divine dans sa constitution (Jay Hambidge, Frederik Lund, Christian Langlois). Tous présentent des résultats souvent incompatibles puisqu’ils découpent le Parthénon à partir de figures, généralement des rectangles souvent différents. Par exemple, l'un trace la hauteur de son rectangle principal au niveau de la troisième marche du temple, l'autre lève son carré au niveau du fût des colonnes externes. 96448143parthenon-png.png

Néanmoins, il a été démontré que le Parthénon s'inscrivait dans un rectangle doré, c'est-à-dire tel que le rapport de la longueur à la hauteur était égal au nombre d'or (L/l= Φ).

 

 

 

 

En effet, sur la figure : DC/DE = Φ

diapositive1-4.jpg

Sur la toiture du temple, GF/GI = Φ

 

Le rectangle GBFH est appelé rectangle Parthénon.

De plus, on remarque un autre triangle d'or: le rapport de la division 13 sur la division 12 vaut phi. D'autres rapports mettant en oeuvre le nombre ont été trouvés mais sont un peu trop fantaisistes (par exemple utilisant des racines 7° ou 8° de Φ).

φ Le nombre d'or dans la nature



De nos jours, nous pouvons dire qu’il existe deux types de nature : la nature végétale et la nature animal. En les examinant de plus près nous pouvons remarquer que toutes deux peuvent présenter la suite de Fibonacci ainsi que les proportions d’Euclide. De ce fait, nous pouvons dire que le nombre d’or est présent partout dans la nature.

La suite de Fibonacci fut créée par un célèbre mathématicien italien : Leonardo Fibonacci au XII ème siècle. Cette suite commence par 0 et 1 (ses deux premiers termes). A partir du rang numéro 2, il suffit d’additionner les deux termes précédents afin de trouver les termes suivants. Ainsi, le troisième terme est  0+1 = 1, le quatrième quand à lui est 1+1 = 2. De ce fait nous pouvons obtenir le début de suite suivant : 0, 1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 …. 

 

                                                                    pngsuite-fibonacci.png

 

                        

A travers cette démonstration, nous allons prouver le lien existant entre la suite de Fibonacci et le nombre d’or. Tout d’abord, nous allons tenter de trouver le terme général de la suite (récurrente linéaire d’ordre 2).

 

Nous avons vu précédemment que la suite de Fibonacci était définie à partir de 0 et 1. De ce fait, nous savons que U0=0 et U1=1.

 

Nous pouvons alors poser la relation suivante avec n appartenant à l'ensemble d'entiers naturels (grâce à la définition de la suite de fibonacci exprimé ci-dessus) :

 

Un+2=Un+1 + Un

 

Soit Un+2 - Un+1 - Un

 

De part cette relation, nous pouvons écrire l’équation suivante : x² - x - 1 = 0

 

Nous pouvons donc résoudre cette équation du second degré :

 

Δ= b²- 4ac

 

Δ= (-1)² - 4×1×(-1)

 

Δ=1+4=5

 

Ainsi, les deux solutions sont :

 

X =(-b-vΔ)/(2a) = (-(-1)-v5)/2 = (1-v5)/2

 

X‘ =(-b+vΔ)/(2a) = (-(-1)+v5)/2 = (1+v5)/2

 

Nous pouvons remarquer qu’une des solutions de cette équation (caractéristique de la suite de Fibonacci) correspond au nombre d’or. En effet, nous avons vu au début de ce PPE que le nombre d’or pouvait s’écrire de la manière suivante :

Φ =  (1+v5)/2

 

Pour finir, nous pouvons donc dire que cette démonstration nous a permis prouver qu’il existait un lien entre la suite de Fibonacci et le nombre d’or. Ainsi, n’importe quel élément comportant la suite de Fibonacci comporte aussi le nombre d’or (et vis versa).

 

Euclide, quand à lui, est un mathématicien de la Grèce Antique mais aussi l’auteur des Éléments, œuvre dans laquelle apparaît la première définition écrite du nombre d’or. Nous pouvons retrouver cette définition dans le livre VI (3ème définition) : « Une droite est dite divisée en moyenne et extrême raison quand la longueur totale de la droite est à la grande partie ce que la grande est à la petite ». A travers cette définition, la notion de droite est à changer. En effet, nous parlerions aujourd’hui plutôt de segment de droite.

 

A travers cette démonstration, nous allons prouver qu’il existe un lien entre les deux théories de proportions d’Euclide et le nombre d’or.

Tout d’abord, nous pouvons dessiner un segment de droite [AB] avec un point un point D que l’on nomme point de « division » de ce segment. Ce point P doit répondre à la définition précédente du nombre d’or selon Euclide. Ainsi, il existe deux points possibles : l’un plus proche de B que de A et l’autre plus proche que A que de B. Cependant, ces deux points doivent être symétriques par rapport au milieu du segment [AB].

(AC)

(AB)

 

 

 

 

D’après les proportions d’Euclide « la longueur totale de la droite est à la grande partie ce que la grande est à la petite ». Ainsi, si nous prenons le premier cas (où le point de division D est plus proche de B que de A) :

[AB] / [AD] = [AD] / [DB]

Soit AB / AD = AD / DB

 

Nous pouvons remarquer sur le schéma que la longueur BD = AB - AD

Ainsi, en remplaçant cette relation dans la formule précédente, nous obtenons :

AB / AD = AD / (AB - AD)

Nous pouvons faire un produit en croix :

AB. (AB - AD) = AD ²

AB ² - AB.AD = AD ²

Nous pouvons diviser les deux membres par AD ² :

(AB / AD) ² - AB / AD = 1
Nous pouvons poser x = AB / AP . Ainsi, nous obtenons :

x² - x - 1 = O
Cette équation est la même que celle retrouvé dans la suite de Fibonacci. Ainsi, nous connaissons les deux solutions possibles :

X =(-b-vΔ)/(2a) = (-(-1)-v5)/2 = (1-v5)/2

 

X‘ =(-b+vΔ)/(2a) = (-(-1)+v5)/2 = (1+v5)/2

 

Or, puisqu’un rapport de distance est toujours positif, il existe qu’une seule solution qui est :

x = (1+v5)/2 . Ainsi, le nombre d’or est la seule solution du rapport : AB / AD = AD / DB.

Ainsi, le nombre d’or est l’unique solution des proportions d’Euclide. De ce fait, si nous trouvons dans la nature une quelconque présence des proportions d’Euclide nous pouvons la rapprocher au nombre d’or (et vis versa).

 

 

1. La Nature végétale

Le monde végétal est très vaste. Cependant, nous pouvons y établir la présence du nombre d’or. En effet, de pars l’étude de quelconque nature végétale nous pouvons voir apparaître la suite de Fibonacci ou même la proportion d’Euclide, tous deux renvoyant au nombre d’or.

 

Nous pouvons prendre comme exemple la pomme de pin.


                                             pomme de pin  

 

En dessinant les différentes spirales dans un sens puis dans l’autre nous pouvons remarquer la chose suivante : il existe huit spirales vertes (chacune formée de treize écailles) et treize spirales rouges (formée de huit écailles). Ainsi, nous pouvons faire un rapprochement avec la suite de Fibonacci. En effet, ces deux nombres (huit et treize) sont consécutifs dans la suite. Nous avons vu précédemment que la suite de Fibonacci renvoyait au nombre d’or. De ce fait, nous pouvons dire que le nombre d’or est présent dans la pomme de pin.

Cependant, nous pouvons nous poser la question suivante ? Est-ce la présence du nombre d’or qui rend la forme de la pomme de pin si harmonieuse ? Ne serait-elle pas aussi belle avec une spirale de plus dans un sens ou dans l’autre ? Ainsi, nous allons étudier d’autres végétaux ayant une forme géométrique particulière afin de pouvoir en tirer une conclusion.

 

 

Nous pouvons étudier le chou-fleur :

 

chouxfleur.jpg

 

Nous pouvons remarquer le même phénomène de spirale que chez la pomme de pin. En effet, si nous traçons dans un sens des spirales rouges et dans l’autre des spirale bleu nous obtenons le résultat suivant : 8 spirales bleu et 5 spirales rouges. Une fois de plus, nous pouvons dire que la suite de Fibonacci est présente dans cet aliment, tout comme le nombre d’or. En effet, comme nous l’avons dit précédemment, la suite de Fibonacci est caractérisée par les termes suivants : : 0, 1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ….

De même pour l’ananas :

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Nous pouvons observer le même phénomène de spirale chez l’ananas (vu d‘en dessous). En effet, celles-ci comportent la suite de Fibonacci. De plus, en prenant l’ananas de face, nous pouvons compter le nombre d’écailles formant une spirale. Ainsi, nous pouvons remarquer qu’il existe de nombreuses fois une spirales formée à partir de 5 écailles d’ananas. Cependant, nous pouvons aussi retrouver un alignement de 8 ou 13 écailles. De ce fait, la suite de Fibonacci est présente dans ce fruit, tout comme le nombre d’or.

 

D’après ces études sur la nature végétale nous pouvons donc en conclure que la présence du nombre d’or rend une certaine harmonie aux végétaux. En effet, elle leur apporte une beauté qui réside en leur apparence (notamment leurs formes originales). Ainsi, nous pouvons dire que Φ confère une beauté aux végétaux de part l’originalité de leurs formes géométriques.

 

2. La nature animale

 

Nous venons de démontrer que le nombre d’or était présent sous de nombreux aspects dans la nature végétale. Cependant, nous pouvons aussi dire que celui-ci est présent chez les êtres vivants. Aussi bien dans le règne animal que chez les humains. En effet, nous pouvons le voir à travers l’Homme de Vitruve.


L’homme de Vitruve est un dessin à la plume intitulé Étude de proportions du corps humain selon Vitruve, réalisé par Léonard de Vinci au XVème siècle. Grâce à cette œuvre d’art, Léonard de Vinci apporte une nouvelle image du corps humain en corrigeant les proportions de l’Homme de Vitruve des enseignements antiques. Vitruve était un architecte et ingénieur qui avait décrit les mesures parfaites du corps humains. Il avait démontré qu’un homme aux proportions parfaites pouvait être à la fois inscrit dans un cercle et dans un carré à condition que ses bras et ses jambes soient écartés. De plus, d’après ses recherches, le centre du corps humain résiderait dans le nombril (à la fois le centre du carré et du cercle).
Ainsi, à travers son œuvre d’art, Léonard de Vinci rectifie les erreurs commises par Vitruve grâce à une longue étude du corps humain. Son dessin est désormais un modèle de perfection.

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De nombreuses études portées sur le nombre d’or chez l’homme aurait prouvé que le rapport : Φ =  (1+v5)/2 , existerait pour différentes parties du corps humain. En effet, comme nous pouvons le voir sur le dessin ci-dessous, il suffit de faire le rapport: trait bleu / trait rouge , pour trouver environ 1.618 (soit Φ ). 

 sans-titre3.jpgpomme de pain

Cependant, le nombre d’or n’est pas seulement présent chez les Hommes. En effet, il est facile de retrouver le nombre d’or chez les animaux. Tout comme l’homme, l’animal présente une structure organisée où l’on peut voir apparaître le nombre d’or. De plus, certains animaux comportent la spirale d’or dans leur structure.

 

La coquille de l’escargot, par exemple, si on l’étudie de près, nous pouvons apercevoir que celle-ci ressemble beaucoup à la spirale d’or.

 

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Ainsi, la coquille (tout comme la spirale d’or) peut être inscrite dans le rectangle d’or.

 

Concernant la structure d’un animal, ou son plan d’organisation nous pouvons remarquer la présence du nombre d’or, du fait de nombreux rapports qui se rapprocheraient de :

Φ =  (1+v5)/2 .

 

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Comme nous l’avons fait précédemment, il suffit de faire le rapport : trait bleu / trait rouge, pour trouver un résultat correspondant au nombre d’or, soit à environ 1.618.

Ainsi, nous avons pu voir que l’Homme de Vitruve de Léonard de Vinci représentait un idéal humain, une perfection esthétique. De plus, celui-ci comporte le nombre d’or ce qui lui apporte une certaine harmonie de part des rapports proportionnels dans tout le corps humain. De ce fait, nous pouvons dire que la présence du nombre d’or (par des rapports d’extrêmes et moyennes raisons) dans le règne animal renvoi à la même perfection esthétique. Ainsi, tout animal comportant le nombre d’or renvoi à une harmonie par un équilibre des proportions.

φ Expérience du nombre d'or sur une Pomme de Pain

TPE : le nombre d'or, exemple dans une pomme de pin

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