Propriétés mathématiques du nombre d'or

◆ Les propriétés algébriques: φ= (1+√5)/2

phi= (1+racine de 5)/2

Soit un segment [AC]. D'après Euclide et son partage en deux segments en "extrême et moyenne raison", il faut trouver un point B sur [AC] et plus proche de C de sorte que:

[AB]/[BC]=[AC]/[AB]

On pose [AB]= x et [BC]= 1         soit :   A ----------------- x --------------- B ------- 1 ------- C

On a donc [AC]= x+1  et x/1= (x+1)/x

d'où  x= (x+1)/x donc  x²= x+1

soit  x² - x - 1= 0

On obtient une équation du second degré que l'on résout en posant :

∆= b² - 4ac soit ∆= 1 + 4 = 5 d'où les deux racines: x= (1+√5)/2 et x= (1- √5)/2.

Sachant que l'on étudie des longueurs, alors on ne prend pas la racine négatif (1-√5)/2

On a donc une solution:    x= (1+√5)/2

Ce nombre est appelé le nombre d'or depuis le XVème siècle, on le note φ

◆ 1/φ= φ-1

1/phi=phi-1

On a φ = (1+√5)/2

Soit  1/φ = 2/(1+√5) =  2(1-√5)/(1+√5)(1-√5)

= 2(1-√5)/- 4 =  (1-√5)/- 2   On peut changer les signes

= (-1+√5)/2 =  (√5-1)/2 On remarque que - 1= 1 - 2, de ce fait on remplace -1 dans la ligne:

= (√5+1 - 2)/2 = ((√5+1)/2) - 1 = φ -1 CQFD !

◆ φ²= φ+1

Phi^2= Phi+1

On a φ= (1+√5)/2

Soit φ²= ((1+√5)/2)²

= (1+√5)²/4  = (1+ 2√5 + 5)/ 4 = (6 + 2√5)/4

On divise par 2:

= (3+√5)/2 On note que 3= 1+2

On remplace donc 3 dans la ligne précédente:

= (2+1+√5)/2 = 2/2 + (1+√5)/2 = 1+ φ CQFD!

◆ φ= √(1+φ)

phi= racine de 1+phi

On a φ= (1+√5)/2

D'après la vidéo précédente, on sait que φ²= 1+ φ 
De ce fait, on a automatiquement φ= √(1+φ)
Soit = √(1+√(1+√(1+√(1+φ)...........
On parle de racine continue (il existe aussi la fraction continue si on utilise la propriété 1/φ= φ-1)

◆ Les propriétés analytiques: F(n+1)/Fn ➝ φ

F(n+1)/Fn

C'est en 1843 que le mathématicien Jacques Phillipe Marie Binet exprime une suite d'entiers Fn en fonction de φ.

Il pose : Fn= (φⁿ- ( -φ)⁻ⁿ)/√5 pour tout entier relatif n

Cette formule est appelée formule de Binet. Nous n'allons pas démontrer cette formule mais l'utiliser pour démontrer que la suite F(n+1)/Fn tend vers φ quand n tend vers ∞.

 

En effet, on prend la formule de Binet et on met φⁿ en facteur:

Donc on a Fn=  φⁿ(1- (-1)ⁿφ⁻²ⁿ)/ √5

On remplace n par n+1:

F(n+1)=  φⁿ⁺¹(1- (-1)ⁿ⁺¹φ⁻²ⁿ⁻²)/ √5

On divise par Fn pour avoir F(n+1)/Fn:

 φⁿ⁺¹(1- (-1)ⁿ⁺¹φ⁻²ⁿ⁻²)/ √5    X   √5/ φⁿ(1- (-1)ⁿφ⁻²ⁿ)

φⁿ⁺¹(1- (-1)ⁿ⁺¹φ⁻²ⁿ⁻²)  /  φⁿ(1- (-1)ⁿφ⁻²ⁿ   =    φ    (1-(-1)ⁿ⁺¹φ⁻²ⁿ⁻²) / 1- (-1)ⁿφ⁻²ⁿ

 

On remarque que φ⁻²ⁿ⁻² et φ⁻²ⁿ tendent vers 0 quand n tend vers ∞

Donc il nous reste:

φ / 1 = φ  qui est la limite de F(n+1)/ Fn quand n tend vers ∞ CQFD!



◆ Les propriétés géométriques: Le rectangle d'or

Rectangle d'or

Le rectangle d'or est un rectangle dont le rapport entre la longueur et la largeur est égal au nombre d'or:

L/l = φ

 

Soit ABCD un carré de côté 1

Pour tracer un rectangle d'or, on prend un compas qu'on plante au milieu de CD (on note ce point I ).

On prend la longueur CB et on trace le cercle de centre I et de rayon IB jusqu'à atteindre le niveau de CD. Le nombre d'or est donné par l'intersection du prolongement de CD avec le cercle tracé qu'on note E.

 

Puisque ABCD est un carré, on a BDI un triangle rectangle en B. D'après le théorème de Pythagore, on a BI² = BD² + DI²

On a BD = 1 et comme I est le milieu de CD alors DI= 1/2 donc BI² = 1² + (1/2)² = 1+ (1/4)

Soit BI= √(1+(1/4)) = √5/2

 

Pour el cercle de centre I, on a IE un rayon du cercle dont IE = BI

Comme CE = CI + IE on a CE = (1/2)+ (√5/2) = (1+√5)/2 = φ

 

On a bien un rectangle de rapport L/l = φ CQFD!

◆ Le pentagone d'or

Le pentagone d'or

On note d'abord que le nombre d'or est la proportion φ telle que L et l deux nombres positifs avec L > l> 0 on ait φ= L/l

Un pentagone d'or ou pentagone régulier a des côtés de longueur 1 et des diagonales de longueur φ.

 

Démonstration:

On considère un pentagone régulier de sommets PGRST dont les côtés ont pour longueur:

(PQ) = (QR) = (RS) = (ST) = (TP) = 1

Les cinq diagonales ont aussi la même longueur que nous notons τ

(PR) = (QS) = (RT) = (SP) = (TQ) = τ

 

On note U l'intersection de (QS) et (RT).

Ls triangles UTQ et URS ont leurs côtés parallèles deux à deux, ils sont donc semblables, on a: 

(QU)/(US)  =  (QT)/(RS) = τ

 

deuxièmement, le quadrilatère PQUT est un losange (côtés opposés parallèles et de même longueur) ainsi:

(QS)/(QU) = (QS)/(PT) = τ = (QU)/ (US)

On pose (QU)= L et (US) = l on a donc (QU)/(US) = L/l =φ

Donc on a bien τ = φ CQFD!

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